手机怎么知道你在哪？

上一篇《时间真的会变慢吗？》说到 GPS 卫星上的钟：「GPS 卫星离地球远，引力弱，钟每天快约 45 微秒；减去速度让它慢的 7 微秒，合起来每天快约 38 微秒。」卫星上的一只钟快了几十微秒，和你手机上的那个蓝点，有什么关系？这一篇就来看看，手机到底是怎么知道你在哪的。

先猜一猜

常听到的说法有：「手机给卫星发信号，卫星就找到了你」；「卫星从天上看得见你」。

都不对。手机从来不给 GPS 卫星发信号，卫星也看不见你，它们甚至不知道有多少人在用。手机只是在「听」：听天上的卫星报时。在室内，手机还会借助 Wi-Fi 和通信基站来定位，这一篇只讲卫星。

打雷：数一数，就知道多远

看到闪电以后，数一数几秒才听到雷声：声音每秒走约 340 米，数到 3，打雷的地方就在 1 公里左右以外。

GPS 用的是同一个道理，只是把声音换成了无线电，速度是光速，每秒约 30 万公里。每颗卫星都在不停地广播：「我是几号卫星，我现在在这里，现在是几点几分几秒」。手机记下收到的时刻，减去卫星发出的时刻，就知道信号在路上走了多久，乘上光速，就是离这颗卫星多远。卫星离地面约 2 万公里，信号要走 67 到 86 毫秒（1 毫秒是千分之一秒）。

天上的 32 颗 GPS 卫星

GPS 是美国的卫星导航系统。第一颗卫星 1978 年发射，1995 年全面运行，现在由美国太空军管理，正在工作的有 32 颗。它们离地面约 2 万公里，分在 6 个倾斜 55° 的轨道面上，每 11 小时 58 分绕地球一圈。《地球转一圈，真的是 24 小时吗？》里说过，地球对着星星转一圈只要 23 小时 56 分，卫星正好绕两圈。所以过了 23 小时 56 分，卫星又回到你头顶同一片天空，比前一天早了 4 分钟左右。

这样安排，是为了让地球上任何地方、任何时候，头顶都有好几颗卫星。上面的模拟里，北京在地平线 10° 以上，一直能看到 7 到 10 颗。每颗卫星上都装着三台原子钟（铷钟，有的还有一台铯钟），一台在用，其余备用；用来发民用信号的功率只有几十瓦，和一只老式灯泡差不多。

一个距离，一个圆

所有卫星的钟都对着同一个标准时间，地面站每天都在校。卫星同时报时，可它们离你远近不同，信号到达手机的时刻也就不同：近的先到，远的要晚几毫秒。手机记下每个信号的到达时刻，就能算出离每颗卫星有多远。

只知道离一颗卫星有多远，还定不了位置：离它这么远的点，在空间里围成一个大球面。为了好画，先在平面上看：离一颗卫星的距离确定了，你就在以它为圆心的一个圆上；加上第二颗卫星，两个圆交于两点；再加上第三颗，三个圆只有一个公共点，就是你所在的地方。

可是这里有个大问题：记录到达时刻，用的是手机自己的钟。手机里负责定位的芯片带着一块普通的石英钟，远远比不上卫星上的原子钟。它也不是屏幕上显示的那个时间：屏幕上的时间是从通信网络对来的，差个零点几秒，平时谁也不会注意，可定位差不起。钟差 1 微秒（百万分之一秒，10⁻⁶ 秒），距离就差 300 米；钟差 1 毫秒，就差 300 公里。

解决的办法很巧妙：干脆把「手机的钟差了多少」也当成一个未知数。手机的钟要是快了，每个信号都显得晚到了同样一段时间，每个距离都多算同样一截，三个圆就交不到一点上（上图右边）；把钟差一点点往回调，等到三个圆正好交于一点，位置和钟差就都算出来了。在平面上，未知数是两个方向加上钟差，一共三个，所以图里用了三颗卫星；在真实的三维空间里，未知数是东西、南北、上下，再加上钟差，一共四个，所以至少要收到 4 颗卫星。

顺便，手机也就得到了一个和原子钟对齐的时间，误差不到一微秒。通信基站、电网、银行交易，很多都靠 GPS 来对时。

藏在噪声里的信号

GPS 信号从 2 万公里外传来，到了地面已经非常弱，大约只有 10⁻¹⁶ 瓦，比接收机自己的噪声还弱几十倍。那手机是怎么听出来的？

靠「对暗号」。每颗卫星都有自己的一串暗号：1023 个「正、负」排成的固定序列，叫 C/A 码，每毫秒重复一遍。手机事先知道每颗卫星的暗号，把它挪来挪去，和收到的一团噪声逐一对比：没对齐的时候，正负互相抵消，什么也没有；一旦对齐，1023 位每一位都对上，就冒出一个高高的尖峰。

尖峰出现的位置，就是信号的延迟。一位码只有 977.5 纳秒（1 纳秒是 10⁻⁹ 秒），光在这段时间里走 293 米；接收机还能把尖峰的位置找得更细，细到一位码的百分之一左右，也就是几米。

卫星的位置和时刻，也藏在信号里，每秒只发 50 位，把完整的轨道参数发一遍要约 30 秒。所以手机通常先从网上把这些数据下好（叫「辅助 GPS」），打开地图几秒就能定位。

从地心出发，几步就算准

有了到 4 颗以上卫星的距离，还得解出位置。这些方程不好直接解，手机用的是「先猜、再改」：先随便猜一个位置和钟差，算一算按这个猜测，到各颗卫星应该是多远，和测到的比一比，差多少就往那个方向挪一点，再算、再改。

上图就是这样算出来的：从地球中心出发，离北京有 6369 公里；改一次，剩 1362 公里；再改，52 公里、76 米，第四次就到了 4 米，再改也不变了。剩下的 4 米来自测距本身的误差。同时，手机的钟快了多少，也算出来了：0.999997 毫秒，和我们假设的 1 毫秒只差几纳秒。

定位为什么会「飘」

在开阔的地方，手机定位一般能准到 5 米左右。可在高楼之间，蓝点常常乱跳。原因有好几个。

第一，卫星的分布。距离测得一样准，卫星分得越开，交点就越准；卫星挤在一小片天上，几个圆几乎平行，交点就会沿着某个方向拉得很长。

同样 3 米的测距误差，开阔地上 95% 的结果落在 6 米以内；在街上只剩 4 颗卫星，结果沿南北方向拉成一长条，95% 落在 109 米以内。好在今天的手机不只收 GPS：同一时刻，北京上空地平线 10° 以上，GPS 有 8 颗，中国的北斗有 26 颗，欧洲的伽利略有 8 颗，俄罗斯的格洛纳斯有 10 颗，一共 52 颗。北斗 2020 年开始全球服务，在亚太地区卫星特别多。

第二，楼房的反射。信号撞到玻璃幕墙再弹过来，路就绕远了，算出的距离偏长。

第三，电离层。离地面几十到几百公里高的地方，空气被阳光电离成带电的粒子，信号穿过它会被拖慢，相当于多走了几米到几十米。高端一点的手机（2018 年起）能同时收两个频率的信号：两个频率被拖慢的程度不一样，一比较，就能把电离层的影响算掉大半。

电离层还会被太阳搅乱。《太阳除了光，还送来了什么？》里说：「2024 年 5 月，这股风猛地一吹，芝加哥、纽约，一直到美国南方，很多人都在自家后院看到了极光。」同一场磁暴把电离层搅得一团乱，美国北达科他州的农民，本来能准到几厘米的自动驾驶拖拉机，那几天偏了 3 米左右，有的农民只好停下来不播种了。

还有一段历史：2000 年 5 月 2 日以前，GPS 给民用信号故意加了误差，定位只能准到四五十米。那天美国关掉了这个误差，一夜之间，民用定位就准到了 6 米左右。

卫星上的钟：相对论要算两笔账

现在回到开头那只每天快 38 微秒的钟。

第一笔账，工程师在卫星上天以前就算好了：把卫星钟的频率调低一点点，从标准的 10.23 兆赫，调到 10.229 999 995 43 兆赫，低了 4.4647 × 10⁻¹⁰。卫星上天以后，引力和速度的效应正好把它「补」回来，从地面看，它就走得和地面的钟一样快。

第二笔账，每颗卫星不一样。卫星的轨道并不是正圆，离地球近的时候跑得快、引力强，钟慢一点；离得远的时候，钟快一点。这个起伏最多有几十纳秒，相当于十几米。手机在计算每颗卫星的时刻时，按一个公式把它算掉。

上一篇说：「38 微秒，光能跑 11 公里多：如果不把相对论算进去，卫星定位每天会偏出 10 公里左右。」这是把 38 微秒直接乘上光速的估算，很多书里都这么讲。真实的系统还要更复杂一点：所有卫星一起快出来的那一部分，手机会当成自己的钟差一起算掉；地面站也每天在测每颗卫星的钟，发上去修正。所以就算不调，定位也不一定真的每天偏 10 公里。可是不调的话，卫星的钟会和地面的标准时间越差越远，一年就差 14 毫秒，靠 GPS 对时的基站和电网都会跟着错；每颗卫星轨道不一样，各自偏出的那一部分，手机也消不掉。所以这两笔账，一笔也不能少。

一句话：手机只听不说，听每颗卫星报时，算出离它多远，画圆找交点；钟不准，就多听一颗卫星，把钟差也算出来。几米的精度背后，是原子钟、藏在噪声里的暗号，和爱因斯坦的相对论。

我们怎么知道

• 自己看看天上的卫星。安卓手机可以装一个叫 GPSTest 的免费应用，打开就能看到一张和图 1 右边一样的「天空图」：每颗卫星在哪个方向、多高、信号多强，属于 GPS、北斗还是别的系统。站在空地上和站在窗边比一比，看看能收到几颗。苹果手机不给应用看这些数据；可以装 GNSS View 这类免费应用，看按轨道算出来的卫星在天上的位置，但看不到手机实际收到了哪几颗、信号多强。
• 手机的原始数据。从 2016 年起，安卓手机可以把测到的原始距离和时刻输出给应用，研究人员用它来测试新的定位方法。苹果手机没有开放这类数据。
• 厘米级的定位。测量队用的设备不只数码，还数电磁波本身的波峰：GPS 的 L1 信号，一个波长只有 19 厘米，数清楚了就能准到一两厘米。

还不知道什么

太阳什么时候会把电离层搅乱，搅到什么程度，现在还很难提前几天准确预报，就像天气预报里最难的强对流一样。另一个难题是信号太弱：近几年，一些冲突地区附近，常有飞机遇到 GPS 被干扰，甚至收到伪造的信号。怎样让定位不怕干扰，或者在没有卫星的时候也能知道自己在哪，各国都还在想办法。

进阶：方程、信号和数据

伪距方程。第 $i$ 颗卫星在发射时刻的位置是 $\mathbf{r}_i$，手机的位置是 $\mathbf{r}$，手机的钟差是 $b$（秒）。测到的「伪距」

$$\rho_i = |\mathbf{r}_i - \mathbf{r}| + c\,b + \varepsilon_i$$

$\varepsilon_i$ 包括电离层、对流层、多路径和噪声。未知数是 $\mathbf{r}$ 的三个分量和 $b$，所以至少要 4 颗卫星。线性化：在猜测值 $\mathbf{x} = (\mathbf{r}, cb)$ 附近，$\Delta\rho = G\,\Delta\mathbf{x}$，$G$ 的每一行是 $(-\hat{\mathbf{u}}_i, 1)$，$\hat{\mathbf{u}}_i$ 是指向卫星的单位矢量；用最小二乘 $\Delta\mathbf{x} = (G^T G)^{-1} G^T \Delta\rho$ 迭代。图 4：起点 $\mathbf{x} = 0$，误差依次约 6369 公里、1362 公里、52 公里、76 米、4.0 米。

几何精度因子（DOP）。测距误差为 $\sigma$ 时，位置误差约为 $\sigma \times \mathrm{DOP}$，DOP 由 $(G^T G)^{-1}$ 算出。图 5：开阔地 8 颗卫星，水平 DOP 约 1.2；街上 4 颗，水平 DOP 约 18。

C/A 码。按 IS-GPS-200 的规定，由两个 10 位移位寄存器生成：G1 的反馈多项式 $1 + x^3 + x^{10}$，G2 的 $1 + x^2 + x^3 + x^6 + x^8 + x^9 + x^{10}$，1 号卫星取 G2 的第 2、6 位相加。码率 1.023 兆码片每秒，长 1023 码片，周期 1 毫秒，一个码片 977.5 纳秒，对应 293 米。L1 载波 1575.42 兆赫，波长 19.0 厘米。导航电文每秒 50 位。

信号强度。规范规定 L1 C/A 信号到达地面的最低功率为 −128.5 dBm（约 $1.4 \times 10^{-16}$ 瓦）；室温下 2 兆赫带宽内的热噪声约 −111 dBm，信号弱约 17.5 dB（约 1/56）。图 3 的模拟：载噪比 $C/N_0 = 45$ dB-Hz，每个码片一个采样，信号与噪声的功率比为 $C/N_0$ 除以码率，约 1/32；对 10 毫秒的数据做相关，尖峰约是背景起伏的 16 倍。

相对论。卫星轨道半径约 26560 公里，速度约 3.87 公里每秒。速度效应：$-\frac{v^2}{2c^2} \times 86400 \approx -7.2$ 微秒每天；引力效应：$\frac{GM}{c^2}\left(\frac{1}{R_\oplus} - \frac{1}{a}\right) \times 86400 \approx +45.7$ 微秒每天。把地面钟随地球自转的速度和地球的扁形也算进去，规范给出的频率偏移是 $-4.4647 \times 10^{-10}$，即每天 38.58 微秒，一年约 14.1 毫秒。椭圆轨道的周期项：$\Delta t_r = F\,e\sqrt{A}\,\sin E$，$F = -2\sqrt{GM}/c^2 = -4.442807633 \times 10^{-10}$ 秒每米$^{1/2}$，$e$ 是偏心率，$A$ 是半长轴，$E$ 是偏近点角；PRN 07 的 $e = 0.0212$，振幅约 49 纳秒。另有萨尼亚克效应：信号在路上的 70 多毫秒里，地球带着手机转动了一点（北京的地面速度约 356 米每秒，约 27 米），计算时要在地固坐标系里扣除。

轨道数据和模拟。卫星轨道：CelesTrak 的 GP 根数（GPS、北斗、伽利略、格洛纳斯，历元 2026 年 11 月 4 日到 6 日），按开普勒轨道推算，不计摄动，半天内误差几十公里，用来画图和数可见卫星足够；北斗去掉了不提供公开服务的试验卫星（北斗三号试验星）。北京取北纬 39.90°、东经 116.41°，高度 50 米；时间从 2026 年 11 月 7 日 0 时（世界时）起。图 4、图 5 的「测量值」是用卫星位置算出的真实距离，加上 1 毫秒钟差和 3 米的高斯随机误差。

其他数据。手机在开阔地的定位精度：美国政府 GPS 网站（gps.gov）引用美国导航学会的数据，约 4.9 米。2000 年 5 月 2 日关闭「选择可用性」：美国政府 GPS 网站（gps.gov）公布的一个连续运行参考站（肯塔基州）5 月 1 日和 3 日各 24 小时的对比，水平误差（95%）从 45.0 米降到 6.3 米。2024 年 5 月的拖拉机：新闻报道引用美国国家海洋和大气管理局空间天气预报中心的说法，偏差约 10 英尺。2026 年 4 月起，正在工作的 GPS 卫星为 32 颗（美国太空军）。