彩虹为什么是弯的，有时还有两道？

初冬了，窗外灰蒙蒙的。整理手机相册时，翻到以前拍的这张双彩虹：一道亮，一道淡，一高一低地弯在雨后的天上。小朋友凑过来，一连串的问题就来了：为什么有两道？为什么是弯的？能不能走到彩虹底下去？

先猜一猜

很多人以为，彩虹挂在某一片天上，那里的雨滴有点特别；只要跑得够快，就能跑到彩虹底下。

其实，雨滴都一样，每一滴都在把阳光拆成各种颜色，往各个方向送。你看到的彩虹，只是其中恰好从某个角度送到你眼里的那些光。所以，彩虹不在一个固定的地方：你往前走，它跟着往前；站在你旁边的人，看到的是另一道属于他自己的彩虹。

一滴雨，把阳光折回来

彩虹总出现在背对太阳的那边。阳光从你背后照过来，射进前方的雨滴：在水面上拐一个弯（折射），在雨滴背面反射一次，出来时再拐一个弯，朝你这边回来。

从雨滴的哪里射进去，决定了光出来时和来路差几度。射在正中间，光原路返回，差 0°；越往边上射，拐得越厉害。可是拐到 42° 左右，就再也拐不上去了，再往边上射，反而拐得少了。于是，从一大片地方射进去的光，出来时都挤在 42° 附近。别的角度上的光稀稀拉拉，只有 42° 上特别亮：这就是彩虹。这样反射一次形成的，是最亮的那道，叫「主虹」；光在雨滴里还能反射两次，形成更淡的「副虹」，后面再讲。

这个道理，是法国的笛卡尔在 1637 年用笔一条一条算光路算出来的。

颜色从哪里来

《阳光是什么颜色？》里说过，阳光是各种颜色的光混在一起的。水对各种颜色的光，折射得不一样：紫光拐得多一点，红光拐得少一点。结果，红光挤在约 42.4°，紫光挤在约 40.6°，各种颜色错开不到 2°，就排成了一道彩带。

为什么红色在彩虹的最外圈？因为你眼里的红光，来自和影子方向差 42.4° 的雨滴；紫光来自 40.6° 的雨滴，离影子更近。所以红色在外（上），紫色在内（下）。

彩虹为什么是弯的

太阳在你背后，你的影子指着正前方。和影子方向正好差 42° 的那些方向，连起来是一个圆，圆心就在你影子的头上。圆上的每一滴雨，都把光送到你眼里，所以彩虹是一个圆。

平时只看到一段弧，是因为圆的下半截落到了地平线以下，那里没有雨滴（或者被地面挡住）。站在高山上，或者坐在飞机上往下看，有时能看到一整圈的彩虹。

这也解释了彩虹常在早晨和傍晚出现：太阳低，彩虹才高；太阳快落山时，彩虹正好是半个圆。在中纬度，夏天中午太阳高过 42°，就看不到彩虹。

冬天反而不一样：在北纬 40° 左右，冬至中午太阳只有约 27° 高，按说中午也能看到彩虹，只是冬天很少下雨，雨滴又常常变成了雪。不过冬天天冷时，有时能在太阳周围看到另一种光圈，叫「日晕」，在离太阳约 22° 的地方，那是冰晶折射出来的，和彩虹是两回事。

彩虹也不一定要下雨：只要阳光从背后照来，前面有足够多的小水滴就行。瀑布、喷泉溅起的水雾，大晴天里也挂着彩虹。

第二道彩虹，和中间那道暗带

光在雨滴里反射两次，也能出来。这时光挤在离影子方向约 51° 的地方，就是副虹。51° 比主虹的 42° 离影子更远，所以副虹总在主虹外面：在天上，就是主虹在下、副虹在上。

• 副虹颜色反过来：反射两次，光的拐法反过来，红光挤在 50.2°，紫光在 53.6°，所以副虹红在内、紫在外。
• 副虹更淡：光每在水面反射一次，大部分都透出去了，只有一小部分留下来。多反射一次，留下的光就更少。
• 两道之间更暗：反射一次的光，最远只到离影子方向 42° 的地方；反射两次的光，最近也在 51°。42° 和 51° 之间，两种光都到不了，天空就暗了一截。这道暗带，早在约 1800 年前就有人注意到，叫「亚历山大暗带」。
• 主虹里面更亮：反射一次的光，虽然在 42° 最挤，可小于 42° 的各个角度也都有，所以主虹里面的天空，比外面亮。

回头看开头那张照片：两道彩虹之间的天空，确实比主虹里面暗了一截；主虹里面的天空，泛着一层暖亮的光。下次再看到双彩虹，也可以找一找：两道之间是不是暗一些？副虹的颜色，是不是反过来？

一句话：阳光射进雨滴，反射一次再出来，最多只能拐 42°，光就都挤在这个角度上；各种颜色挤的角度略有不同，排成了彩带。和你影子方向差 42° 的方向连成一个圆，所以彩虹是弯的，而且每个人看到的都是自己的彩虹。反射两次的光挤在 51°，成了颜色反过来、更淡的副虹。

我们怎么知道

• 自己造一道彩虹：晴天背对太阳，用喷壶或水管喷出细细的水雾，在影子前方的水雾里找彩虹。冬天太阳低，彩虹反而又高又大。
• 量一量 42°：伸直手臂，张开手掌，从大拇指尖到小指尖约 20°。从你影子的头往上量两拃多，就是彩虹。
• 用一杯水做雨滴：在窗边阳光里放一个装满水的圆玻璃杯或圆鱼缸，在靠窗那边、斜着拿一张白纸找一找，能接到一小片彩色的光。
• 戴偏光太阳镜看彩虹：彩虹的光几乎全是「偏振」的。戴着偏光太阳镜，彩虹顶上那一段会暗下去；把头歪向一边，变暗的地方就换到了两侧。

还不知道什么

偶尔，有人拍到更奇怪的彩虹：主虹从底下的一根，到上面分成了两道，叫「分叉彩虹」。一种解释是：大雨滴落下时会被空气压扁，像个小汉堡；两阵大小不同的雨滴混在一起，各自画出一道略有不同的彩虹。2012 年的计算机模拟确实画出了这样的彩虹，可研究者自己也说，还没有在真实的天空里验证过。

进阶：彩虹的角度、模拟和历史

最挤的角度。光以入射角 $i$ 射进雨滴，折射角 $r$ 满足 $\sin i = n \sin r$，$n$ 是水的折射率。反射一次后，射出的光和来路差 $\theta_1 = 4r - 2i$；反射两次，差 $\theta_2 = 180° - (6r - 2i)$。$\theta$ 随入射位置变化、在某处停住不变时，光最挤，条件是 $\cos^2 i = (n^2 - 1)/3$（主虹）或 $(n^2 - 1)/8$（副虹）。

水的折射率按 Daimon 和 Masumura（2007）的公式，20 °C：

• 紫光 400 纳米：$n = 1.3436$，主虹 40.6°，副虹 53.6°；
• 黄光 589 纳米：$n = 1.3334$，主虹 42.0°，副虹 51.0°；
• 红光 700 纳米：$n = 1.3305$，主虹 42.4°，副虹 50.2°。

太阳本身有约 0.5° 宽，又把每种颜色抹宽一点，所以彩虹的颜色带宽约 2°。

天空的模拟。在雨滴截面上随机取一百多万条光线，每条按菲涅耳公式算出每次反射、透射留下多少光（分开算两种偏振），加上雨滴表面直接反射的光，统计光落在各个角度上的多少；再按日光的光谱、人眼的 CIE 1931 颜色匹配函数换成颜色，并按太阳 0.53° 的大小抹匀。没有算光的波动：真实的主虹里面，有时能看到几道淡淡的粉绿条纹（「附属虹」），要用光的干涉才能解释，1803 年由托马斯·杨最先提出。开头那张照片里，主虹内侧就贴着一道淡淡的粉绿色条纹，很可能就是附属虹。

太阳的高度。北纬 40° 处，中午的太阳在夏至约 73° 高，春分秋分约 50°，冬至约 27°。彩虹顶的高度 = 42° − 太阳的高度。严格说，太阳在 42° 到 51° 之间时，主虹已经沉下去了，副虹的顶还露在地平线上，只是又淡又低。

历史。约公元 200 年，亚里士多德的注释者亚历山大描述了两道彩虹之间的暗带。约 1304 到 1310 年，德国的西奥多里克用装满水的玻璃球当作放大的雨滴做实验，指出彩虹是一滴滴雨各自折射、反射阳光形成的，还画出了副虹的光路。1637 年，笛卡尔算出了 42° 和 51°。牛顿用棱镜把白光分成各种颜色，解释了彩虹为什么有颜色。